.RU

Темы исследовательских работ по математике на 2009-2010 год


Темы исследовательских работ по математике

на 2009-2010 год

Вы можете выбрать одну из предлагаемых тем или предложить свою собственную тему.

1. Излишек труда (5-7)

Если мы хотим вбить по гвоздю в каждый из нескольких десятков столбов, расставленных на равных расстояниях вдоль дороги, то лучше всего начать с первого, а закончить последним. Но как сделать то же самое хуже всего, т.е. чтобы проделанный нами путь был самым длинным?


2. Правильные стопки (5-7)

Вершины правильного n-угольника пронумерованы числами 1, 2, ..., n (номера идут подряд по часовой стрелке или против часовой стрелки). Несколько таких n-угольников сложили в стопку так, что суммы номеров при каждой вершине оказались одинаковыми. Сколько n-угольников может быть в такой стопке?


^ 3. Порождение чисел (5-7)

К натуральному числу прибавляют сумму его цифр в десятичной записи. Полученное число назовём порождённым, а исходное – породившим его. Какие числа являются порождёнными, а какие – никем не порождёнными? А как дела обстоят для чисел в двоичной записи?


^ 4. Отрезание (6-7)

От выпуклого 100-угольника отрезали 100 треугольников. Какая фигура могла получиться?

В общем виде:  от выпуклого n-угольника отрезали b k-угольников и получили m-угольник.

Как могут быть связаны числа n, m, k и b?


^ 5. Исчисление змей (6-9)

Рассмотрим последовательность 1 3 2. Она обладает тем свойством, что 12. Ещё таким же свойством обладает последовательность 21, а больше таких последовательностей (из этих чисел) нет. Из четырёх чисел 1234 можно составить уже 5 последовательностей-змей:

12<4

12<3

21<4

21<3

31<2

Задача: сколько бывает змей длины n?


^ 6. Складные квадраты (6-9)

Опишите все натуральные числа, квадраты которых оканчиваются на само число. Пример: 76*76=5776.


7. Перестановки и циклы (6-9)

Рассмотрим перестановку шести чисел:

1 2 3 4 5 6



2 1 3 6 4 5

(запись означает, что 1 переходит в 2, 2 – в 1, 3 - в 3, и так далее). Будем производить перестановку многократно и проследим за судьбой каждого числа:

1-> 2 -> 1 -> 2 -> 1 -> 2 -> … Получился цикл длины 2.

3 -> 3-> 3 -> … Получился неподвижный элемент или цикл длины 1.

4-> 6 -> 5 -> 4 -> 6-> 5 -> … Получился цикл длины 3.

Задача: изучить все перестановки данных 6 элементов и подсчитать общее количество циклов длины 1, 2, 3, …, 6 в этих перестановках. Обобщить на перестановку s чисел.


^ 8. Прожекторы (7-9)

1) Прожектор может освещать на плоскости угол α. Сколько таких прожекторов нужно, чтобы целиком осветить плоскость?

2) Пусть на плоскости фиксировано N точек, в которые мы можем поставить прожекторы. При каком N можно гарантировать, что эти прожекторы можно развернуть так, чтобы они освещали всю плоскость?


^ 9. Квазиплоскости (7-10)

Будем  рассматривать  квазиплоскости,  т.е.  множества,  в  которых  выделены некоторые  подмножества,  именуемые  прямыми,  и  в  которых  выполнены  0,  I  и  V  постулаты Евклида. Пример: простейшая квазиплоскость из 4 точек и 6 прямых (смотри рис.; в центре точки нет!). Задача: описать все квазиплоскости.



[I постулат: Через две разные точки проходит прямая и только одна.

V постулат (или аксиома параллельности): Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и только одна.
Ещё для нетривиальности геометрии нужно ввести: 0-й постулат: На плоскости есть хотя бы один треугольник.]


^ 10. Ломаная (7-10)

Обычная пятиконечная звезда состоит из пяти отрезков (звеньев), каждый из которых пересечен два раза. При каких N и K существует замкнутая N-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно K раз?


^ 11. Склейки многоугольников (7-10)

Представьте себе, что 2n-угольник сделан из мягкой резины, так что его легко можно деформировать. Его стороны разбили на пары, склеили стороны в каждой паре (с сохранением ориентации, т.е. так, чтобы не получился лист Мёбиуса) и получили какую-то поверхность (сферу, тор, крендель и т.д.). Сколько поверхностей каждого рода получается при всех возможных склейках 2n-угольника? [есть статья для ознакомления]


^ 12. Поменьше разных расстояний (7-10)

1) Расположите на плоскости 5 точек так, чтобы различных расстояний между ними было не больше двух. Можно ли так же расположить 6 точек?

2) Какое наибольшее число точек можно расположить на плоскости, чтобы различных расстояний между ними было не больше трех? Обобщите задачу.


^ 13. Траектории замечательных точек для треугольника Понселе (8-10)

Нарисованы 2 окружности – одна внутри другой. Оказалось, что есть треугольник, вписанный в одну из них и описанный вокруг другой.

- Докажите, что тогда из любой точки окружности можно построить такой треугольник (теорема Понселе). [есть статья для ознакомления]

- Исследуйте траектории замечательных точек этого семейства треугольников.

- А если рассматривать четырех- и больше угольники?

 

^ 14. Целые стороны на целой решетке (8-9)

Какие треугольники с целыми сторонами можно расположить так, чтобы его вершины лежали в узлах решетки?


15. Правильные треугольники на решётке (8-10)

Из произвольных одинаковых треугольников построена решётка. При каких условиях существует правильный треугольник, вершины которого можно расположить в узлах решётки?


^ 16. Сопротивления (8-10)

Имея 2 сопротивления в 1 Ом, легко получить сопротивление в ½ Ом – соединить их параллельно. А как получить сопротивление 7/15 Ом, имея сколько угодно сопротивлений в 1 Ом. Какое наименьшее число сопротивлений достаточно? Какие сопротивления можно получить и каково наименьшее число сопротивлений для этого нужно?


^ 17. Вписанная окружность (8-10)

Описать достаточные условия, при которых в n-угольник (n > 4) можно вписать окружность.


18. Графы (8-10)

Из шести человек всегда найдутся либо трое, знакомые друг с другом либо трое, не знакомые друг с другом (докажите это).

Есть N человек. Для какого максимального k можно гарантировать, что найдется такое подмножество из k человек, что либо все эти люди знакомы друг с другом, либо никакие двое из них не знакомы друг с другом?


^ 19. Диаграммы касательных (9-10)

К графику параболы из некоторых точек плоскости можно провести 2 касательные, из некоторых – одну, из некоторых – ни одной. Эти три области можно отмечать разными цветами. Постройте аналогичные диаграммы касательных для кубических функций, дробно-линейный, дробно-квадратичных, и т.д. (в статье В.В. Вавилова предлагаются функции, с которых стоит начинать).


^ 20. Дискретные гармонические функции (9-10)

Рассмотрим функцию двух переменных у = F(i,j), которая определена на всех целочисленных точках (i,j), такую, что


F(i,j) = 1/4(F(i-1,j) + F(i+1,j) + F(i,j-1) + F(i,j+1)).


(значения функции могут быть не целыми). Такие функции называются гармоническими. Исследовать свойства таких функций. Может ли гармоническая функция быть ограниченной?


^ 21. Многоугольники на клетчатой бумаге (9-10)

Покажите, что любой правильный многоугольник можно расположить на клетчатой бумаге так, что его вершины попадут в круги радиуса r < 1 с центрами в узлах бумаги. Как для данного r найти многоугольник наименьшего размера, который можно так расположить?


^ 22. Ловушка для электронов (9-10)

Научиться моделировать поведение электронов в магнитном поле и так задавать магнитное поле, чтобы траектория электрона оказалась близка к наперед заданной.


^ 23. Радикальные уравнения (9-10)

Изучить виды уравнений 4 степени, корни которых выражаются через квадратные радикалы (обобщение различных методов решения уравнений 4 степени).


^ 24. Заборы (8-9)

На плоскости отметили N точек и N – 2 непересекающихся отрезка. Докажите, что найдутся две точки, которые «видят» друг друга (точки не лежат на отрезках).


^ Аналитические рефераты (прочти статью и реши задачи к ней)

 Про все задачи в этом разделе есть хорошие статьи. Задача в том, чтобы в этих статьях разобраться и по возможности развить изложенные в них идеи.

^ 1. Сложение фигур (Н.Васильев, Квант; 9-10)

Предлагается разобрать статью, в которой вводится определение суммы многоугольников, решить предлагаемые задачи и попытаться обобщить эту операцию (так, чтобы сохранялись какие-то из ее хороших свойств) на другие объекты: произвольные множества в пространстве или многогранники. 

^ 2. Суммы квадратов (Г. Шабат; 7-9)

Г. Б. Шабат и А.И. Сгибнев предложили в своей статье красивое "элементарное" (то есть
не требующее знаний, выходящих за школьную программу 7-8 класса) решение задачи о том, какие числа можно представить в виде суммы двух квадратов. Нужно разобрать статью и понять, можно ли использовать аналогичные идеи для дальнейшего изучения свойств таких разложений.

^ 3. Числа Каталана (7-10)

Последовательность из n открывающих и n закрывающих скобок называется
правильной скобочной структурой, если их можно разбить на пары так,
что в каждой паре открывающая скобка идет раньше закрывающей. Например:
 (() (( )) )
 ()()()
 ()(())
- правильные скобочные структуры, а
 (()))(
 )()(
- неправильные.
Числом Каталана называется число различных правильных скобочных структур из n пар скобок. Требуется найти явную формулу для чисел Каталана. Кроме того, есть ряд задач, в которых эти числа возникают.

^ 4. Производящие функции (Пойа; 8-11)

Производящие функции -- очень мощный аппарат, используемый в комбинаторике и дискретной математике. Нужно разобраться с тем, что такое производящие функции и научиться пользоваться этим аппаратом. Есть серия задач, помогающая сделать это.


^ 5. Окружность Эйлера (окружность девяти точек) и теорема Фейербаха (9-11)

 

Теорема об окружности Эйлера (окружности, проходящей через середины всех трёх сторон треугольника) является одной из красивейших теорем "элементарной" геометрии. Нужно разобраться с ее доказательством.

 

^ 6. Теоремы Паскаля и Брианшона о вписанных и описанных шестиугольниках (8-11)

 

Теорема Паскаля утверждает, что если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

^ Теорема Брианшона утверждает, что если шестиугольник описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.

Так вот, эти две теоремы: на самом деле являются по сути одним и тем же утверждением. Нужно разобраться, как эти теоремы доказываются и почему доказав одну из них, можно тут же получить и вторую.

 

^ 7. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы (8-11)

Прочитать и разобраться с тем, какие свойства имеют эллипс, гипербола и парабола. Разобраться, какие из этих свойств являются характеристическими, то есть могут использоваться в качестве определений этих кривых. Сделать демонстрацию этих свойств в программе «Живая геометрия».

^ 8. Ортоцентрические тетраэдры
(В. Матизен, В. Дубровский. Из геометрии тетраэдра. //Квант №9, 1988; 10-11)

Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Не всякий тетраэдр обладает таким свойством. Если высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, он называется ортоцентрическим. Надо изучить несколько свойств ортоцентричных тетраэдров и критерии ортоцентричности.

9. Быстрое умножение (Белов, Тихомиров; 8-10)

Умеете ли вы перемножать натуральные числа? Для быстродействия компьютера нужно, чтобы количество операций было как можно меньше. Казалось бы, что может быть быстрее умножения в столбик? Однако в 1960-е годы молодые московские математики Карацуба и Тоом придумали метод, позволяющий умножать числа заметно быстрее. Чтобы разобраться в их методе, придётся немного повозиться с интерполяцией многочленов.

Оргмоменты:

Каждому ученику, выбравшему тему по математике, надо приходить на консультации раз в неделю:

Во вторник, с 15.40 до 17.30, каб. 305.

Либо в четверг с 15.40 до 17.30, каб. 305.

Консультирующие учителя: Воронцов А.С., Нетрусова Н.М., Сгибнев А.И., Шноль Д.Э. и другие.






sushestvitelnie-i-skloneniya-latinskij-yazik-utverzhdeno-ministerstvom-obrazovaniya-respubliki-belarus-v-kachestve.html
sushestvo-kotorogo-ne-kosnulas-evolyuciya-100-velikih-zagadok-prirodi.html
sushestvo-zhalobi-o-postupivshih-v-izbiratelnie-komissii-obrasheniyah-zhalobah-i-zayavleniyah.html
sushestvovanie-v-nashej-strane-dvuh-terminov-voennaya-i-gosudarstvennaya-tajna-govorit-ob-otsutstvii-logiki-v-ponimanii-sekretnosti-vo-vsem-mire-pod-gosudarstv.html
sushestvuet-dva-varianta-perevoda-ispolzovannogo-v-oformlenii-oblozhki-srednevekovogo-latinskogo-izrecheniya-bukvalnij-seyatel-arepo-derzhit-koleso-v-rabote-k-stranica-5.html
sushestvuet-li-idealnaya-shpargalka-i-kak-ee-sostavit-dannaya-statya-raskroet-etu-temu-i-rasskazhet-vam-o-raznoobraznih-variantah-shpargalok-i-sposobah-ih-primenen.html
  • write.bystrickaya.ru/eshyo-odna-konstituciya-bila-napisana-masonom-pestelem-po-kotoroj-evreyam-darovalos-polnoe-ravnopravie-i-v-rossii-uchrezhdalsya-velikij-evrejskij-sinedrion.html
  • notebook.bystrickaya.ru/ischislenie-nds-v-2008-godu.html
  • bystrickaya.ru/vekselya-i-operacii-s-nimi-chast-8.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/razdel-iii-doklada-cel-1-obespechenie-vipolneniya-i-sozdanie-uslovij-dlya-optimizacii-rashodnih-obyazatelstv-tomskoj-oblasti.html
  • control.bystrickaya.ru/bojsya-mesti-moej-test-revnivi-li-vi-gramotnaya-mest-kak-vernut-lyubimogo-bojsya-mesti-moej.html
  • notebook.bystrickaya.ru/i-proyavlyaetsya-ego-svoboda-voli-svoboda-filosofiya-v-mire-kulturi-predmet-filosofii-5-yazik-filosofii-fundamentalnie.html
  • apprentice.bystrickaya.ru/vaviloniya.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-3-shihirev-p-n.html
  • school.bystrickaya.ru/bankovskij-kredit-na-primere-kabardino-balkarskogo-otdeleniya-sberegatelnogo-banka-chast-4.html
  • thesis.bystrickaya.ru/poryadok-soversheniya-namaza-namaz.html
  • tests.bystrickaya.ru/konkursi-tovarishestvo-s-ogranichennoj-otvetstvennostyu-too-zhambil-petroleum.html
  • apprentice.bystrickaya.ru/vneshnyaya-i-vnutrennyaya-sreda-vliyayushaya-na-process-osvoeniya-innovacii.html
  • lecture.bystrickaya.ru/74-meri-bezopasnosti-pri-obsluzhivanii-skvazhin-oborudovannih-uecn-avtomaticheskoe-upravlenie-privodom-pogruzhnogo.html
  • paragraf.bystrickaya.ru/zhpiazhe-geneticheskij-aspekt-yazika-i-mishleniya-uchebnoe-posobie-tekst-predostavlen-pravoobladatelem-logopatopsihologiya.html
  • vospitanie.bystrickaya.ru/vozniknovenie-novogo-principialnaya-harakteristika-istorii.html
  • laboratornaya.bystrickaya.ru/programma-vstupitelnih-ispitanij-po-biologii-na-baze-srednego-polnogo-obshego-obrazovaniya.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-devyatnadcataya-uajz-d-ross-t-nevidimoe-pravitelstvo.html
  • letter.bystrickaya.ru/ob-otdele-ekonomicheskoj-politiki-administracii-g-tindi.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vospitatelnaya-deyatelnost-detskogo-ozdorovitelnogo-lagerya-istoriya-i-sovremennost-stranica-4.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/referat-otcheta-o-nauchno-issledovatelskoj-rabote-po-teme-razrabotka-i-vnedrenie-resursosberegayushej-tehnologii-vozdelivaniya-kukuruzi-dlya-proizvodstva-visokoenergeticheskogo-silosa.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/problema-formirovaniya-srednego-klassa-v-rossii.html
  • tests.bystrickaya.ru/kurs-uchebno-letnoj-podgotovki-na-samolete-yak-18-t-dlya-kursantov-visshih-letnih-stranica-3.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/programma-disciplini-opd-f-01-psihologiya-celi-i-zadachi-disciplini.html
  • thescience.bystrickaya.ru/itogi-vozvrashenie-ot-sistemi-k-istochniku-kulminaciya-stranica-33.html
  • assessments.bystrickaya.ru/cel-krizisa-srednego-vozrasta-nevroz-krizis-srednego-vozrasta-i-individuaciya.html
  • college.bystrickaya.ru/33-kriterii-vklyucheniya-referat-vrezultate-mnogocentrovogo-issledovaniya-provedennogo-v-gorodah-moskve-chite.html
  • lecture.bystrickaya.ru/azastan-respublikasini-2015-2025-zhildara-arnalan-sibajlas-zhemorlia-arsi-strategiyasi-turali.html
  • crib.bystrickaya.ru/kniga-3-mezhdu-dvuh-revolyucij-stranica-2.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/programma-patrioticheskogo-vospitaniya-uchashihsya-obrazovatelnogo-uchrezhdeniya-na-2008-2011-godi-dlya-uchashihsya-12-17-let.html
  • studies.bystrickaya.ru/glavnoe-ruslo-filosofii-istorii-vsegda-sostavlyali-obshie-obzori-vsego-hoda-istorii-a-ne-teorii-istoricheskogo-processa-vne-vremeni-i-prostranstva.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/lichnij-sostav-ekspedicii-perevel-s-ukrainskogo-s-g-kulibaba.html
  • report.bystrickaya.ru/igra-po-proizvedeniyam-a-s-pushkina-dlya-uchashihsya-5-9-h-klassov-stupeni.html
  • bukva.bystrickaya.ru/socialnaya-pedagogicheskaya-set.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/uchebnoe-posobie-po-kursu-nalogovij-uchet-vipolneno-v-sootvetstvii-s-gosu.html
  • tasks.bystrickaya.ru/39-zhilishno-kommunalnoe-hozyajstvo-otchyot-ob-ispolnenii-v-2009-godu-programmi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.